Золотые фигуры

Существует гипотеза, что пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет, поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем "золотая" пропорция.

Рассмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для построения угла равного 72о, именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной вокруг него окружности. Начнём с отрезка АВЕ, разделённого в крайнем и среднем отношении точкой В (рис.10).

Рис. 10

Проведём далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусом АВ, пересекающиеся в точке С. Пусть АС = АЕ. Обозначим через α равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС = АЕ, то угол АСЕ равен α. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180о, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180о - 2α, а угол ЕАС равен 3α - 180о. Но тогда угол АВС равен 180о – α, и, суммируя углы треугольника АВС, получаем:

180о = (3α - 180о) + (3α - 180о) + (180о – α),

откуда

5α = 360о и α = 72о.

Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36о. Следовательно, что бы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую сторону ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

Число Ф, например, является отношением радиуса окружности к стороне правильного вписанного десятиугольника. Расположим три золотых прямоугольника (стороны которых находятся в золотом отношении) так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя другими (под прямым углом к каждому из них), видно, что вершины золотых прямоугольников совпадают с вершинами правильного икосаэдра и в то же время указывают положение центров 12 граней правильного додекаэдра. См. (приложение 2, 3)

Использование золотого сечения при решении задач на построение

Задача №1.

С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением сторон 1 : ( – 1 ) / 2.

Решение

Поделим отрезок АВ точкой С в отношении золотого сечения. Из точки А восстановим окружность радиуса (– 1 ) / 2. Она пересекает перпендикуляр АК в точке D. Последующие построения очевидны. Они завершают чертёж прямоугольника АВЕD, отношение сторон которого 1 : (– 1 ) / 2.

Задача №2

Построить прямоугольник отношением сторон 1 : ( – 5 ) / 2.

Решение

Проводим отрезок АВ = 1, точкой С делим его в золотом отношении. Тогда АС = 1 - (– 1 ) / 2 = ( 3 -) / 2. Продолжим отрезок АВ за точку А, и из точки А проведём окружность радиуса АС. Пересечение с продолжением АВ будет точка D. Из точки В восстановим перпендикуляр ВМ к АВ. Строим окружность с центром в точке В радиусом ВD.

ВD = 1 + ( 3 -) / 2 = ( 5 -) / 2.

Окружность пересекает перпендикуляр ВМ в точке Е, длина стороны прямоугольника равна ( 5 -) / 2.

Задача №3

Построить правильный пятиугольник по данной стороне АВ = 1.

Статьи по педагогике:

Исторические сведения
«О, сколько мы много и, в то же время, так мало знаем о золотом делении», говорили мастера. История этого деления поразительна. Американский математик Марк Барр 80 лет назад предложил назвать отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом Φ. Буква Φ является первой буквой в ...

Определение золотого сечения
Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение – далеко не все. Пропорция – ...

Дайте краткую характеристику коммуникативным барьерам в процессе педагогического общения
В процессе общения между учителем и учащимся стоит задача не только и не столько передать информацию, сколько добиться ее адекватного понимания последним. То есть в межличностной коммуникации как особая проблема выступает интерпретация сообщения, поступившего от учителя ученику и наоборот. Во-первы ...